Zadatak. Izmjereni su dužina neke cijevi $d$ i njen prečnik $R$ i dobijeni su rezultati $R=20\pm 1,\,\text{ mm},\quad d=2500\pm 1\,\text{ mm}. $ Kolike su relativne greške $\delta R^{\star}$ i $\delta d^{\star}$?
Rješenje. \[\delta R^{\star}\approx\frac{\triangle R^{\star}}{|R^{\star}|}=\frac{1}{20}=0.05;\quad \delta d^{\star}\approx\frac{\triangle d^{\star}}{|d^{\star}|}=\frac{1}{2500}=0.0004.\]
Zadatak. Dati su tačan broj $a$ i njemu približan broj $a^{\star}.$
(a) $a=12.2453$ i $a^{\star}=12.237$;
(b) $a=\pi$ i $a^{\star}=3.14159$.
Odrediti broj sigurnih cifara približnog broja.
Rješenje.
(a) Vrijedi \[\triangle a^{\star}=|12.2453-12.237|=0.0083=0.83\cdot 10^{-2}=.083\cdot 10^{-1}\leqslant 0.5\cdot 10^{-1}.\]
Iz definicije sigurne cifre je $\triangle a^{\star}\leqslant \frac{1}{2}\cdot 10^{m-k+1}.$ U našem primjeru je $m=1$ te je \[\frac{1}{2}\cdot 10^{1-k+1}=\frac{1}{2}\cdot 10^{-1}\Leftrightarrow 1-k+1=-1\Leftrightarrow k=3.\] Dakle $a^{\star}$ ima tri sigurne cifre.
(b) \[\triangle a^{\star}=|\pi-3.14159|=0.0000026535\cdots\leqslant 0.27\cdot 10^{-5}\leqslant 0.5\cdot 10^{-5}.\]
Sada je \[0-k+1=-5\Leftrightarrow k=6.\] Dakle $a^{\star}$ ima šest sigurnih cifara.
Zadatak. Izračunati apsolutnu i relativnu grešku zapremine lopte $V=\frac{4}{3}r^3\pi,$ ako je poluprečnik lopte $r=10.3\pm0.02\,\text{cm}$ a $\pi^{\star}=3.14.$
Rješenje. Apsolutnu grešku računamo kao $\Delta V^{\star}=\left| \frac{\partial V(r^{\star},\pi^{\star})}{\partial r}\right|\Delta r^{\star}+\left| \frac{\partial V(r^{\star},\pi^{\star})}{\partial \pi}\right|\Delta \pi^{\star},$ dok je relativna greška $\delta V^{\star}\approx\frac{\Delta V^{\star}}{|V^{\star}|}.$
Vrijedi \begin{align} \left| \frac{\partial V(r^{\star},\pi^{\star})}{\partial r}\right|&=4(r^{\star})^2\pi^{\star}\\ \left| \frac{\partial V(r^{\star},\pi^{\star})}{\partial \pi}\right|&=\frac{4}{3}(r^{\star})^3 \end{align}
import math
r=10.3; #aproksimacija poluprečnika
deltar=.02; #apsolutna greška poluprečnika
pia=3.14; #aproksimacija broja pi
deltapi=math.pi-pia; #apsolutna greška aproksimacije broja pi
apsgreska=(4*(r)**2)*pia*deltar+(4/3)*((r)**3)*deltapi;
aproxzap=(4/3)*(aproxr)**3*aproxpi;
print('Apsolutna greška zapremine je', apsgreska, ', a aproksimativna vrijednost zapremine je ', aproxzap)
Kako je $\Delta V^{\star}=28.970255438951643\leqslant0.2898\times 10^{2}\leqslant0.5\times 10^{2}=0.5\times 10^{3−k+1},$ to je $2=3−k+1,$ pa je $k=2$, tj. imamo samo dva sigurna mjesta, $\Delta V^{\star}=4600.$ Pa je
relgreska=apsgreska/4600;
print('Vrijednost relativne greške je', relgreska, 'ili u procentima $', relgreska*100)
Zadatak. Potrebno je izradi pravilnu šestostranu piramidu, dužine stranice baze $a=3.5\,\text{cm}$ i dužine visine bočne stranice $h=7.2\,\text{cm}.$ Odrediti najveće dopuštene apsolutne greške promjenljivih $a$ i $h,$ tako da se površina izrađene piramide razlikuje najviše za $\triangle P^{\star}=0.5\,\text{cm}$ od predviđene. Zadatak uraditi koristeći sva tri principa.
Rješenje. Površinu zadane piramide računamo po formuli $P=B+O=\frac{3\sqrt{3}a^2 }{2}+3ah.$
(a) Princip jednakih uticaja
Vrijednost najveće dopuštene apsolutne greške argumenata računamo na sljedeći način
$\triangle x^{\star}_k\approx\dfrac{\triangle f^{\star}}{n\left|\frac{\partial f(x^{\star}_1,\ldots,x^{\star}_n)}{\partial x_k} \right|},\,k=1,\ldots,n.$ U našem slučaju je
\begin{align}
\triangle a^{\star}\approx\frac{\triangle P^{\star}}{2\left| \frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial a}\right|}\nonumber\\
\triangle h^{\star}\approx\frac{\triangle P^{\star}}{2\left| \frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial h}\right|}\label{uvod30},
\end{align}
i
\begin{align*}
\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial a}=&3\sqrt{3}a+3h\\
\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial h}=&3a.
\end{align*}
Koristeći prethodne relacije i uvrštavajući odgovarajuće vrijednosti dobijamo
\begin{align*}
&\triangle a^{\star}\approx\frac{\triangle P^{\star}}{2\left| \frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial a}\right|}=\frac{0.5}{2( 3\sqrt{3}\cdot 3.5+3\cdot 7.2)}=0.0062835\\
&\triangle h^{\star}\approx\frac{\triangle P^{\star}}{2\left| \frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial h}\right|}=\frac{0.5}{2\cdot3\cdot 3.5}=0.0238095.
\end{align*}
(b) Princip jednakih apsolutnih grešaka
Vrijednost najveće dopuštene apsolutne greške argumenata računamo
$\triangle x^{\star}_k\approx\frac{\triangle f^{\star}}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{\left|\frac{\partial f(x^{\star}_1,\ldots,x^{\star}_n)}{\partial x_k} \right|}},\,k=1,\ldots,n.$ Sada je
\begin{align*}
\triangle a^{\star}=\triangle h^{\star}\approx&\frac{\triangle P^{\star}}{\left|\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial a} \right|
+\left|\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial h} \right|}\\
=&\frac{0.5}{3\sqrt{3}\cdot 3.5+3\cdot 7.2+3\cdot 3.5}=0.0099430.
\end{align*}
(c) Princip jednakih relativnih grešaka
Vrijednost najveće dopuštene apsolutne greške argumenata računamo kao
$\triangle x^{\star}_k\approx\frac{\triangle f^{\star} \left|x^{\star}_k \right|}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}{\left|x^{\star}_j\frac{\partial f(x^{\star}_1,\ldots,x^{\star}_n)}{\partial x_j} \right|}},\,k=1,\ldots,n.$ Sada je
\begin{align*}
\triangle a^{\star}\approx\frac{\triangle P^{\star} \left| a^{\star}\right|}{\left|a^{\star}\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial a} \right|
+\left|h^{\star}\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial h} \right|}= 0.0081451 \\
\triangle h^{\star}\approx\frac{\triangle P^{\star} \left| h^{\star}\right|}{\left|a^{\star}\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial a} \right|
+\left|h^{\star}\frac{\partial P(a^{\star},h^{\star})}{\partial h} \right|}= 0.0167557.
\end{align*}